Résoudre une équation dans C (2) - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{C}\)  l'équation \(z^2=-5+4i.\)

Conseil : poser  \(z=x+iy\) et penser au changement de variable  \(X=x^2\) au moment opportun.

Solution

Soit \(z \in \mathbb{C},\)  on pose  \(z=x+iy\) avec  \(x\) et  \(y\) des réels. Par unicité de la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, on a :  \(z^2 = -5+4i \iff x^2-y^2 + 2ixy = -5 + 4i\) .
\(\iff \begin{cases}x^2-y^2 = -5 \\ \\2xy = 4\end{cases}\iff \begin{cases}x^2- \dfrac{4}{x^2} +5 =0 \\\\ y = \dfrac{2}{x}\end{cases} \\\\\iff\begin{cases}x^2- \dfrac{4}{x^2} +5 =0 \\\\ y = \dfrac{2}{x}\end{cases} \iff \begin{cases}x^4 +5x^2 -4 =0 \\ \\y = \dfrac{2}{x}\end{cases}\)

Or, \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff X^2+5X-4=0\)  avec \(X=x^2.\)
\(X^2+5X-4=0 \iff X= \dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}\)  ou \(X=\dfrac{-5 - \sqrt{41}}{2}\) .
Donc, \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff x^2 = = \dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}\)  
ou \(x^2=\dfrac{-5 - \sqrt{41}}{2} \iff x^2 = = \dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}\)  car \(\dfrac{-5 - \sqrt{41}}{2} <0\) .

Donc, \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff x= \sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\)  ou \(x= -\sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\)  car \(\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2} \geq 0\) .

Finalement, en posant \(x_1 = \sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\)  et \(x_2 = -\sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}},\)  on a :
\(S = \left\{ x_1 + \dfrac{2}{x_1} i \;; x_2 + \dfrac{2}{x_2} i \right\}\) .